カケル「先生、二次関数の最大値って、グラフの頂点を見ればいいんですよね？でも、定義域が制限されてたりすると、なんかややこしくなって、いつも間違えちゃうんです…」

テイス「カケルさん、鋭いですね！確かに、二次関数の最大値問題は、頂点だけに着目すると落とし穴にはまってしまうことがあります。まず、カケルさんが『頂点を見ればいい』と思った理由を教えてもらえますか？そこから、一緒に理解を深めていきましょう。」

カケル「えっと…、二次関数のグラフって放物線で、頂点が一番高いところ（または低いところ）だから、そこが最大値（または最小値）になるんじゃないかなって…。でも、定義域があるときは、グラフの一部しか見ないから、頂点じゃないところが最大値になることもあるんですよね…？」

テイス「素晴らしい！カケルさんの理解は、二次関数のグラフの基本的な性質をしっかりと捉えています。まさに、頂点だけに着目すると誤ってしまうケースがある、という点に気づけているのが素晴らしいです。では、ここで一つ質問です。定義域が与えられた場合、最大値の候補となる点はどこになるでしょう？」

カケル「えっと…、定義域の両端の点と、頂点…ですか？その中で一番大きい値が最大値になる…？」

テイス「その通りです！正確に言えば、定義域の両端の値（関数の値）と、頂点が定義域に含まれていれば、その頂点での値も候補になります。しかし、なぜその3点が候補になるのか、理解していますか？単に暗記するのではなく、なぜそうなるのかを理解することが重要です。」

カケル「うーん…、なんとなくグラフの形からそうなる気がするんですけど…、説明しろって言われると、ちょっと難しいです…」

テイス「なるほど。では、一緒に考えてみましょう。二次関数のグラフの形は、放物線ですね。放物線は、頂点を境にして、片側では常に増加、もう片側では常に減少する性質を持っています。この性質を考慮すると、定義域の両端と、定義域内に頂点が含まれる場合、その頂点での値が最大値の候補になることが、グラフの形状から直感的に理解できると思います。これを数学的に厳密に証明するには、微分という概念が必要になりますが、今の段階では、グラフの形状から理解できていれば十分です。さて、では、ここから少し発展的な内容に挑戦してみましょう。もし、二次関数の式に文字定数が含まれている場合、最大値はどのように考えれば良いでしょうか？」

カケル「文字定数…ですか？えっと、例えば、y=x² + ax + 1 みたいな？頂点の位置が変わっちゃうから、場合分けが必要になるんですかね？」

テイス「その通り！まさに、場合分けをして考える必要があるんです。文字定数の値によって、頂点の位置が変わるため、定義域との位置関係も変化します。そのため、場合分けをして、それぞれのケースで最大値を求める必要があります。この場合分けは、単に機械的に行うのではなく、グラフの概形をイメージしながら、論理的に行うことが重要です。例えば、頂点が定義域の左側にあるとき、右側にあるとき、定義域に含まれるとき、といった具合です。ここで、具体的な問題を解きながら、場合分けの考え方を身につけていきましょう。」

（問題提示）
問題: 二次関数 y = -x² + 2ax (0 ≤ x ≤ 2) の最大値を求めなさい。

テイス「まずは、この関数のグラフの概形を把握するために、平方完成をしてみてください。」

カケル「はい、やってみます。 y = -(x - a)² + a² となるので、頂点の座標は (a, a²) ですね。」

テイス「完璧です！では、この結果を踏まえて、最大値を求めるために場合分けをしてみましょう。」

カケル「えっと…、頂点のx座標が a なので、 a が0以下、0より大きく2以下の時、2より大きいとき、の3パターンで場合分けすればいいんですかね？」

テイス「素晴らしい！その通りです。それでは、それぞれのケースについて、最大値を求めてみましょう。まず、a が0以下の時、最大値は何になりますか？」

（問題解決プロセスの指導、場合分けの考え方、論理的思考を重点的に指導する）
（生徒の理解度に応じて、さらに発展的な問題や応用問題に挑戦する）

テイス「カケルさん、今日の講義を通して、二次関数の最大値問題について、非常に深い理解が得られたと思います。特に、定義域や文字定数が含まれる場合分けの考え方は、今後の学習においても非常に重要になります。最後に、今日の講義内容をカケルさん自身の言葉でまとめてみてください。」

カケル「はい。今日は、二次関数の最大値について、頂点だけを見るのではなく、定義域との関係で場合分けが必要だということを学びました。特に、文字定数が含まれる場合は、グラフの概形をイメージしながら、頂点が定義域のどこにあるかで場合分けして考えれば良いんですね。これからは、問題を解くときに、どうしてそうなるのかを考えながら、論理的に解くように心がけます！」

テイス「素晴らしい！カケルさんの理解度と成長に、私も大変感動しました。今日の学びを活かして、これからも様々な問題に積極的にチャレンジしてください。応援しています。」