カケル「先生、2次方程式の解の公式って、なんであんなに複雑な形をしているんですか？ 覚えるのは大変だし、どうしてあんな形になるのか、全く想像できないんです。」
テイス「カケルさん、良いところに気がつきましたね。確かに、2次方程式の解の公式は一見複雑に見えますし、ただ暗記しようとすると苦労するかもしれません。しかし、あの公式には、2次方程式を解くための美しい論理が隠されているのです。まずは、カケルさんが、2次方程式の解の公式をどのように理解しているか、少し質問してもよろしいでしょうか？ 例えば、解の公式を構成しているパーツ（a, b, c や √ の中身など）について、それぞれどんな意味があると思いますか？」
カケル「えっと、a, b, c は2次方程式の係数ですよね？ ax² + bx + c = 0 のそれぞれの数字のことですよね。でも、それがなぜあの公式に入ってくるのか、全然わからないです。ルートの中身は…なんとなく、判別式と関係があるような気もするんですけど…自信ないです。」
テイス「素晴らしいですね。確かに、a, b, c は2次方程式の係数であり、ルートの中身は判別式と深い関係があります。カケルさんの理解はかなり正確です。では、なぜ a, b, c があの複雑な形に組み合わさるのか、その根本的な理由を探求していきましょう。実は、2次方程式の解の公式は、平方完成というテクニックから導かれるのです。平方完成という言葉は聞いたことがありますか？」
カケル「平方完成…聞いたことはありますけど、どうやってやるのかは正直覚えてないです。確か、無理やりカッコの2乗を作るんでしたっけ？」
テイス「その認識で大丈夫です。まさに、無理やりカッコの2乗を作ることで、2次方程式を解ける形に変形するのが、平方完成の目的です。それでは、実際に ax² + bx + c = 0 を平方完成してみましょう。まずは両辺を a で割るところから始めます。紙とペンはありますか？一緒に手を動かしながら進めていきましょう。」
カケル「はい、あります！…えっと、両辺を a で割って、x² + (b/a)x + c/a = 0 になりますね。そこから、どうすればいいんですか？」
テイス「素晴らしい！ 順調に進んでいますね。ここからが平方完成の核心部分です。x² + (b/a)x の部分を、無理やり (x + p)² の形にしたいのですが、どうすれば良いでしょう？ ヒントは、展開すると x² + 2px + p² になることを思い出してください。」
カケル「えっと、えっと…、2p が b/a になればいいから、p は b/2a ですね！ということは、x² + (b/a)x + (b/2a)² ってすれば良いんですか？ でも、勝手に (b/2a)² を足しちゃって良いんですか？」
テイス「鋭い！まさにその通りです。p は b/2a になります。そして、勝手に何かを足したら、帳尻を合わせる必要がありますね。つまり、同じものを引く必要があります。そこまで踏まえて、式変形をしてみてください。」
カケル「…わかりました。x² + (b/a)x + (b/2a)² - (b/2a)² + c/a = 0 となって、前半部分が (x + b/2a)² になって、あとは移項して、両辺をルートにすると…、先生、できました！ 解の公式が出てきました！」
テイス「素晴らしい！ カケルさん、見事に解の公式を導き出しましたね！ どうですか？ 公式の形が、少しは意味のあるものに見えてきましたか？ 単に暗記するのではなく、どのように導かれるかを知ることで、理解は深まり、記憶も定着しやすくなります。そして、平方完成という考え方は、2次関数のグラフを理解する上でも非常に重要な役割を果たすのです。」
カケル「はい、すごくよくわかりました！ 平方完成がこんなに大事だったなんて知りませんでした。ルートの中身が判別式っていうのも、なんとなく納得できました。でも、解の公式って、使える場合と使えない場合ってあるんですか？」
テイス「素晴らしい質問ですね。解の公式は、基本的には全ての2次方程式に対して使うことができます。しかし、解が実数になるかどうかは、ルートの中身、つまり判別式の値によって決まります。判別式が正の数であれば実数解が2つ、0であれば重解、負の数であれば実数解は存在しない。この点を理解しておくと、方程式を解く前に、どのような解を持つか予測できるようになります。では、今の理解度を確かめるために、少し応用問題を解いてみましょう。例えば、この2次方程式の解の種類と解を求めてください。」
テイス「どうですか？ 解けましたか？ 今回の学習を通して、2次方程式の解の公式に対する理解が深まったと思います。単に公式を覚えるだけでなく、その背景にある論理を理解することこそが、数学の本質を学ぶ上で非常に重要です。最後に、今回の講義で学んだことを、カケルさん自身の言葉でまとめてみましょう。そして、次回の学習に向けて、どのような目標を立てますか？」