カケル「先生、複素数って、実数と虚数を合わせた数って習ったんですけど、複素数平面って、それを図で表すってことですよね？ なんか、実数みたいに数直線上に並べられない数が、平面で表現できるってのが、いまいちピンとこないんです…」

テイス「カケルさん、非常に良い疑問ですね。まさに、複素数の本質を理解する上で、複素数平面は欠かせないツールなのです。実数と違って、複素数が数直線上に並べられない、その感覚は非常に重要です。では、カケルさんはなぜ実数は数直線上に並べられると思いますか？」

カケル「えっと…実数は、大きさを比べられるから、ですか？ 1より2の方が大きいとか、マイナス3よりマイナス2の方が大きいとか…」

テイス「素晴らしい！その通りです。実数は大小関係を定義できるからこそ、数直線上に並べられます。では、複素数 ( z = a + bi ) と ( w = c + di ) において、大小関係を定義できるでしょうか？ 例えば、( 2 + 3i ) と ( 4 + i ) はどちらが大きいと言えるでしょう？」

カケル「うーん…( 2+3i ) は、実数の部分が2で、虚数の部分が3で…( 4+i ) は、実数の部分が4で、虚数の部分が1… うーん…どっちが大きいか、よくわからないです…」

テイス「そうですね。複素数には、実数のような自然な大小関係を定義することができません。だからこそ、複素数を数直線上に並べることはできないのです。しかし、そこで登場するのが複素数平面です。複素数平面では、複素数 ( z = a + bi ) を、座標 ((a, b)) を持つ点として表現します。つまり、実数部をx座標、虚数部をy座標とする平面なのです。」

カケル「あっ！そっか！平面上に点を置くことで、複素数を表現するんですね！ だから、実数みたいに大小関係を気にしなくてもいいんですね！」

テイス「その通りです！カケルさんの理解が深まってきましたね。複素数平面では、複素数の大小関係ではなく、複素数そのものを点の位置で表現することで、幾何的な視点から複素数を捉えることができるようになります。例えば、複素数の絶対値は、原点からの距離として、複素数の偏角は、x軸の正の方向からの角度として表現できます。これは、数直線では不可能だったことです。」

カケル「なるほど、絶対値や偏角って、そういう意味だったんですね！ なんか急に複素数が身近に感じてきました！ でも、複素数平面で複素数を表現することのメリットって、他にも何かあるんですか？」

テイス「良い質問ですね。複素数平面は、単に複素数を図示するだけでなく、複素数の演算を幾何的に理解するための強力なツールでもあります。例えば、複素数の足し算は、ベクトルとしての足し算に対応し、複素数のかけ算は、原点周りの回転と拡大・縮小に対応します。これらの幾何的な解釈を用いることで、複雑な複素数計算を視覚的に捉え、より深く理解することができるのです。」

カケル「えっ！かけ算が回転と拡大・縮小！？ ちょっと想像できないです…」

テイス「そうですね。では、例を挙げて説明しましょう。複素数 (z = r(\cos\theta + i\sin\theta)) を、複素数平面上で考えると、原点からの距離が (r)、x軸からの角度が (\theta) の点に対応します。この複素数 (z) に別の複素数 (w = s(\cos\phi + i\sin\phi)) をかけると、結果は (zw = rs(\cos(\theta + \phi) + i\sin(\theta + \phi))) となります。これは、原点からの距離が (r) の点が (s) 倍になり、角度が (\theta) から (\theta + \phi) に変化したことを意味します。つまり、かけ算は、絶対値をかけ、偏角を足すという操作に対応するのです。」

カケル「うわ、すごい！ 本当に回転してる！ なんか数学というより、魔法みたいです！　でも、この回転の考え方って、例えば、どんな問題で使えるんですか？」

テイス「素晴らしいですね！ カケルさんの探求心、大変素晴らしいです。例えば、複素数平面における図形の回転問題を考える際に、この複素数のかけ算の性質が非常に役立ちます。例えば、ある複素数に対応する点を、原点周りに特定の角度だけ回転させた点を求める際に、回転に対応する複素数を掛ければ、一瞬でその点の座標を求めることができます。また、複素数の軌跡問題を考える際にも、複素数平面における図形の性質や、複素数の演算を駆使することで、問題をスムーズに解くことが可能になります。」

カケル「なるほど、めっちゃ便利じゃないですか！ 複素数平面、最初はピンとこなかったけど、こんなに奥が深いんですね… これまで習ったことが、全部繋がってきた気がします！」

テイス「そのように感じていただけて、私も嬉しいです。では、最後に、今日の講義内容をカケルさん自身の言葉でまとめてみましょう。そして、複素数平面の理解を深めるために、簡単な問題を解いてみましょうか？複素数平面の面白さを実感することで、今後の学習へのモチベーションがさらに高まるはずです。」