カケル「先生、三角比のsinとかcosとかtanって、結局、何なんですか？　角度によって値が変わるってことはわかるんですけど、どうやって求めるのか、正直よくわからなくて…」

テイス「カケルさん、鋭い質問ですね。まさに、三角比の本質を捉える上で非常に重要なポイントです。**『結局、何なのか』**という問いは、数学の本質を理解するための第一歩と言えるでしょう。まず、カケルさんが三角比に対してどのようなイメージを持っているのか、いくつか質問してもよろしいでしょうか？ 例えば、三角比を習う前に、何か似たようなことを学習した記憶はありますか？」

カケル「えっと…、図形の相似とか、ピタゴラスの定理とかですかね？　直角三角形の辺の比とかは、なんとなく関係がありそうな気もします。」

テイス「素晴らしい！　カケルさんの言う通り、図形の相似とピタゴラスの定理は、三角比を理解するための非常に重要な土台となります。三角比は、直角三角形の辺の比を、角度を使って表すための道具なんです。ここで、少し具体的に見ていきましょう。例えば、sin30°の値は1/2ですが、この1/2という値は、どのような直角三角形から得られるのでしょうか？カケルさんの言葉で説明してみてください。」

カケル「えっと…、sin30°は、斜辺が2で高さが1の直角三角形の比ですよね？　でも、それって、30°の直角三角形ならどんな大きさでも同じ比になるってことですか？」

テイス「その通りです！　カケルさんは、相似の概念をしっかりと理解していますね！　30°の直角三角形であれば、どんな大きさでも辺の比は常に一定になる。これが、三角比の重要な性質です。つまり、三角比の値は、直角三角形の大きさに依存せず、角度によって一意に定まるのです。では、なぜ、斜辺が2で高さが1の直角三角形の場合に、sin30°が1/2となるのでしょうか？ 少し掘り下げて考えてみましょう。」

カケル「うーん、それは…、定義ですか？　sinは斜辺分の高さって決まっているから、そうなるってことですよね？」

テイス「おっしゃる通り、sinは**『斜辺に対する高さの比』と定義されています。これは、数学的な約束事であり、受け入れる必要があります。しかし、なぜそのような定義がなされたのかを考えると、さらに深い理解に繋がります。例えば、もし定義が『底辺に対する高さの比』**だったらどうでしょう？ どのような問題が生じますか？」

カケル「えっと…、それだと、直角三角形の向きが変わると、値が変わってしまって、角度だけで値が決まらなくなってしまいますね…」

テイス「素晴らしい！　カケルさんは、定義の必然性を理解しようとしていますね。定義というのは、ただ闇雲に決まっているわけではなく、合理的な理由があるのです。さて、次に、三角比の具体的な値をどのように求めるのか、考えてみましょう。例えば、sin45°の値はどのように求めますか？」

カケル「sin45°は…、45°、45°、90°の直角二等辺三角形を使いますよね？ 辺の比は1:1:√2だから、sin45°は1/√2で…、あれ？ 有理化して√2/2ですか？」

テイス「完璧です！　カケルさんは、特別な角度の三角比の値を、直角三角形の辺の比から正確に求めることができますね。では、次に、sin60°はどうでしょうか？ そして、cosやtanの値についても、同様に考えてみましょう。ここからは、少し難易度を上げて、既習事項である三平方の定理と関連付けながら考えてみましょう。sin^2θ + cos^2θ = 1 という関係式を思い出せますか？」

カケル「はい、思い出せます！　あれは、三平方の定理から導けるんですよね。でも、どうして、sinとcosの二乗の和が1になるんですか？ なんか、不思議です。」

テイス「良いところに気が付きましたね！　この関係式は、三角比の定義と三平方の定理が密接に結びついていることを示しています。円と直角三角形の関係性を理解することで、より深く理解することができます。時間があれば、単位円を用いた三角比の定義についても触れたいところですね。では、最後に、この三角比の知識を使って、少し応用的な問題を解いてみましょう。」

カケル「はい！ 頑張ります！」

テイス「カケルさん、今日は本当に良く頑張りましたね。三角比の定義から、値の求め方、そして三平方の定理との関連まで、しっかりと理解できたと思います。特に、定義の必然性や、三平方の定理との関連性に気づけたのは素晴らしいです。今日の講義内容を、カケルさん自身の言葉でまとめてみましょう。それが、今後の学習への自信につながります。…ふふ、今日は本当によく頑張りましたね。」