カケル「先生、場合の数の重複順列って、なんか普通の順列とごちゃごちゃになって、いつもわからなくなるんです。重複順列の定義って、結局何がポイントなんですか？」

テイス「カケルさん、素晴らしい質問ですね。確かに、順列と重複順列は似ているようで、本質的な違いを理解するのが難しいところです。まず、カケルさんが考える『順列』と『重複順列』の違いを、言葉で説明してもらえますか？ カケルさんの理解度を把握する上で、とても大切な第一歩です。」

カケル「えーっと…、順列は、例えば人が一列に並ぶときとか、数字を並べて作る数とか、そういう時に使うんじゃないですか？ 重複順列は、なんか同じものを何回も使っていい時、例えばサイコロを何回も振るとか…、そんな感じですか？」

テイス「なるほど、カケルさんの認識は概ね正しいですね。順列は「異なるもの」を並べる場合、重複順列は「同じもの」を繰り返し使える場合、という認識で間違いありません。ただ、大事なポイントは、なぜそのような違いが生じるのか、その根本的な理由を理解することです。カケルさんは、順列を考えるとき、どのように考えていますか？ 例えば、３つの異なるものから２つ選んで並べる場合で考えてみましょう。」

カケル「えっと、３つのものから１つ選ぶ方法は３通り、次に残った２つから１つを選ぶ方法は２通りだから、３×２で６通りですよね。これは、樹形図を書いても確認できます。」

テイス「素晴らしい！まさにその通りです。では、この考え方を踏まえて、重複順列ではどう考えるべきでしょうか。例えば、3種類の文字A,B,Cから2つ選んで並べる時、同じ文字を繰り返し使っても良い場合、何通りになりますか？カケルさんの考えを聞かせてください。」

カケル「えーと、１つ目にA,B,Cの３通り、２つ目もA,B,Cの３通りだから、３×３で９通り…、ってことですか？ あれ、でも、これって本当に重複順列なんですか？なんか順番も関係しているような気がするんですが…」

テイス「カケルさん、非常に良いところに気が付きましたね！まさにそこが、重複順列の本質的な部分です。順列と重複順列の違いは、**「選ぶ際に、前に選んだものが、次の選択に影響を与えるか否か」**にあります。順列では、選んだものは次に選ぶ選択肢から除外されるため、前の選択が後の選択に影響を与えます。一方、重複順列では、選んだものが次の選択肢を制限しないため、前の選択が後の選択に影響を与えないのです。 つまり、順列は「異なるもの」から「順番を考慮して」選ぶのに対し、重複順列は「同じもの」を「順番を考慮して」選ぶと言えるでしょう。カケルさんが指摘されたように、重複順列も順番を考慮しているため、「順列」という言葉が使われているのです。」

カケル「なるほど！だから、重複順列は『同じものを繰り返し使っても良い』って言うんですね！でも、先生、なんかまだモヤモヤします。例えば、コインを３回投げた時、表と裏の出方を考えるのも重複順列でしょ？それって、さっきの文字の例と、何が違うんですか？」

テイス「良い質問ですね。コイン投げの例は、重複順列の理解を深める上で非常に重要です。コイン投げの場合、表と裏の2種類の出方が、毎回独立して起こります。つまり、1回目の結果が2回目に影響することはありません。これは、さっきの文字の例と構造的には全く同じです。どちらも、それぞれの選択において、選択肢の数が変化しないという点がポイントです。コインの例では、毎回2通りの選択肢があり、文字の例では毎回3通りの選択肢がある。これを一般化して考えると、重複順列の総数は、n個の異なるものからr個選んで並べる場合、nのr乗通りとなります。具体例で言うと、サイコロを３回振るときは、6の3乗通り、コインを3回振る時は、2の3乗通りとなるわけです。ここで、少し応用問題をやってみましょうか。例えば、5人がそれぞれ３つのホテルから１つ選んで宿泊する場合、何通りの宿泊方法がありますか？ 」

カケル「えっと、これは、5人がそれぞれホテルを選ぶから、3の5乗で243通りですか？…でも、なんで、ホテルが選ぶ立場じゃなくて、人が選ぶ立場なんですか？もしかして、選ぶ側と選ばれる側で、考え方が変わってくるんですか？」

テイス「カケルさん、素晴らしい！非常に鋭い視点ですね。まさに、そこを理解することが、重複順列の理解を深める上で非常に重要なのです。この問題では、「誰が何を」選ぶのかを明確にすることが大切です。5人がそれぞれ3つのホテルから1つ選ぶということは、5人のそれぞれが、3つの選択肢を持っているということになります。つまり、ホテルが選ぶのではなく、人が選ぶのです。ここを間違えると、3の5乗ではなく、5の3乗という誤った答えにたどり着いてしまいます。このように、問題を解く際には、何を基準に考えるか、という視点を持つことが非常に重要です。この問題は、ホテルが選ぶのではなく、人が選ぶと考えることで、重複順列の構造が見えてきます。では、今日の講義内容を踏まえて、重複順列の定義をカケルさん自身の言葉でまとめてもらえますか？」

カケル「はい。重複順列は、同じものを何回も使って良い順列で、それぞれの選択肢が独立していて、選ぶ際に選択肢の数が変わらない場合の並べ方です。n個のものからr個選んで並べる時は、nのr乗通りになります。そして、問題文をよく読んで、何を基準に考えるのかをしっかり理解することが大切なんですね。」

テイス「素晴らしいまとめですね！カケルさんの理解度が深まったことがよくわかります。今日の講義を通して、重複順列の本質的な部分、そして応用まで理解することができました。この知識を土台にして、さらに高度な問題にも挑戦できるよう、これからも頑張っていきましょう！今日は本当によく頑張りましたね！」