カケル「先生、三角形の性質って、なんか色々あって、どれがどれだか、ごちゃごちゃになってきちゃいました…特に、重心とか外心とか内心って、名前も似てるし、いったい何が違うんですか？」

テイス「カケルさん、良い質問ですね。まさに、三角形の性質を理解する上で、非常に重要なポイントです。確かに、重心、外心、内心はそれぞれ異なる性質を持っていて、混同しやすいかもしれません。まず、カケルさんが、それぞれについて、どこまで理解しているか、少しだけ確認させてください。例えば、重心はどのような線が交わった点か、説明できますか？」

カケル「えっと…重心は確か…中線が交わった点ですよね？でも、外心と内心が、どっちがどの線だか、いつも忘れちゃうんです…」

テイス「はい、よく覚えてますね。重心が中線の交点であることは、正確に理解できています。では、中線とはどんな線か、改めて説明できますか？言葉での説明が難しければ、図で表現してもらっても構いませんよ。」

カケル「中線は、三角形の頂点から、向かい合う辺の中点に引いた線…ですよね？図で言うと、こんな感じ…」

テイス「素晴らしいですね。中線を正確に理解しています。カケルさんの図も正確です。ここが、重心の理解の基礎になります。では次に、外心について考えてみましょう。外心はどんな線が交わった点でしたか？」

カケル「外心は…確か…垂直二等分線が交わった点、だった気がします…」

テイス「はい、その通りです。外心は各辺の垂直二等分線の交点です。では、ここで、なぜ垂直二等分線の交点が外心になるのか、カケルさん自身で考えてみましょう。外心の特徴を思い出してみてください。外心は、三角形のどんな図形の中心になりますか？」

カケル「外心は、三角形の外接円の中心…でした！あ、ということは、外心から各頂点までの距離が等しいから…垂直二等分線になるんですね！」

テイス「素晴らしい！外心と外接円の関係から、垂直二等分線にたどり着く、見事な推論です！では、最後に内心について考えてみましょう。内心はどんな線が交わった点ですか？」

カケル「内心は…角の二等分線…でしたっけ？」

テイス「はい、内心は各内角の二等分線の交点です。それでは、なぜ角の二等分線の交点が内心になるのか、カケルさん、外心の時のように、自分で考えてみてください。内心は、三角形のどんな図形の中心になるかを思い出すとヒントになりますよ。」

カケル「内心は、内接円の中心…ということは、内心から各辺までの距離が等しいから、角の二等分線になるんですね！」

テイス「素晴らしい！内接円と内心の関係から、角の二等分線にたどり着きましたね！これで、重心、外心、内心の定義と、それぞれがなぜそのような性質を持つのか、理解できたと思います。では、ここで少し、応用問題に挑戦してみましょう。
三角形ABCにおいて、重心をG、外心をO、内心をIとします。このとき、３点G,O,Iは必ずしも一直線上に並びません。どのような場合に、この3点が一直線上に並ぶかを考えてみてください。ただし、答えは一つとは限りませんよ。」

カケル「え、3点G,O,Iが一直線上に並ぶ…か…。ちょっと難しいな…。正三角形の時は、3点とも同じ点になるから、並ぶのはわかるけど…。それ以外だと…うーん…。」

テイス「はい、正三角形の場合は、3点が一致するので、一直線上にある、というのは正しいですね。他にも条件はあります。二等辺三角形の場合を考えてみてください。二等辺三角形の特別な線、例えば、頂点から対辺に引いた線に着目すると、見えてくるかもしれません。」

カケル「二等辺三角形…！あ、もしかして、二等辺三角形の頂角の二等分線って、中線にもなるし、垂直二等分線にもなるから、その線上に重心、外心、内心が全部乗る…！つまり、3点が一直線上になるんですね！」

テイス「はい、大正解です！素晴らしいひらめきです！二等辺三角形の場合、頂角の二等分線が、中線、垂直二等分線と一致するため、3点G,O,Iが一直線上に並びます。このように、図形の性質を理解すると、色々な問題が解けるようになります。最後に、今日の講義を振り返って、カケルさん自身の言葉でまとめてみてください。」

カケル「はい！今日は、重心、外心、内心について、それぞれどんな線が交わった点か、ちゃんと理解できました！あと、なんでそういう線になるのかも、外接円とか内接円とかの関係から、自分で考えることができて、すごく面白かったです！二等辺三角形の時に3点が一直線に並ぶっていうのも、びっくりしました！これからも、図形の性質を深く理解して、色んな問題を解けるように頑張りたいです！」

テイス「素晴らしいまとめですね！カケルさんの成長が目に見えて、私も大変嬉しく思います。今回の学びを活かして、今後も色々な問題に挑戦し、さらに理解を深めていきましょう！」